ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
Η συμμετρία δεν είναι αριθμός ή σχήμα, αλλά μια ειδική κατηγορία μετασχηματισμού, ένας τρόπος “μετακίνησης” ενός αντικειμένου.
Εάν το αντικείμενο εξακολουθεί να δείχνει το ίδιο ακόμα και μετά την μετακίνησή του, τότε ο μετασχηματισμός αποτελεί συμμετρία.
Ένα τετράγωνο, για παράδειγμα, φαίνεται το ίδιο, αν στραφεί κατά 900.
Στην καρδιά της θεωρίας της σχετικότητας βρίσκεται η αρχή ότι οι νόμοι της φυσικής πρέπει να είναι οι ίδιοι σε όλους τους τόπους και σε όλους τους χρόνους. Δηλαδή, οι νόμοι πρέπει να είναι συμμετρικοί σε σχέση με την κίνηση στον χώρο και τον χρόνο. Η συμπεριφορά των στοιχειωδών σωματιδίων, επίσης διέπεται από μαθηματικές εξισώσεις που παρουσιάζουν συμμετρία.
Τα σωματίδια είναι δυνατόν να μετασχηματιστούν μαθηματικά σε άλλα πολύ διαφορετικά σωματίδια και οι μετασχηματισμοί αυτοί αφήνουν αμετάβλητους τους νόμους της φυσικής.
Η γλώσσα περιγραφής των συμμετριών στα μαθηματικά είναι γνωστή ως “θεωρία ομάδων” και χρησιμεύει στην ερμηνεία των μορφών που παρατηρούνται στον φυσικό κόσμο.
Οι συμμετρίες σχηματίζουν πάντοτε “ομάδα”. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί να δράσει μια ομάδα. Μπορεί να δράσει με στροφές, μεταθέσεις ή αντιστροφή της ροής του χρόνου.
Το πρωτόνιο αποτελείται από τρία κουάρκ, δύο u και ένα d. Αν ανακατέψουμε τα κουάρκ του πρωτονίου, θα προκύψει πάλι ένα πρωτόνιο. Αυτό δείχνει ότι οι νόμοι για τα πρωτόνια είναι συμμετρικοί ως προς τις αντιμεταθέσεις των κουάρκ που τα αποτελούν.
Είναι ενδιαφέρον ότι οι νόμοι είναι συμμετρικοί και σε αλλαγές της γεύσης (flavor) των κουάρκ. Αν αλλάξουμε ένα u κουάρκ σε d, προκύπτει το νετρόνιο.
“Περιστρέψαμε”, δηλαδή, ένα πρωτόνιο χρησιμοποιώντας έναν μετασχηματισμό και προέκυψε ένα νετρόνιο. Οι νόμοι της φυσικής – η ισχυρή αλληλεπίδραση- εξακολουθούν να ισχύουν. Η συμμετρία αυτή δεν είναι “ακριβής”, γιατί το πρωτόνιο και το νετρόνιο έχουν διαφορετική μάζα. Θα ήταν ακριβής, αν τα u και d κουάρκ είχαν την ίδια μάζα.
Οι “στροφές” αυτές δείχνουν ότι τα αδρόνια μπορούν να κατασκευαστούν με αλλαγές των γεύσεων των κουάρκ και να δημιουργηθούν “οικογένειες” σωματιδίων με όμοιες ιδιότητες.
Τα βαρυόνια που αποτελούνται από u, d και s κουάρκ, μπορούν να προκύψουν με διαδοχικές αλλαγές των γεύσεων των κουάρκ (u ↔︎ d, d ↔︎ s, u ↔︎ s) μέσω της συμμετρίας SU(3).
Η συμμετρία αυτή ομαδοποιεί βαρυόνια με διαφορετικό φορτίο (charge) και παραδοξότητα (strangeness), αλλά κοινό σπιν.
Αυτή η ομαδοποίηση σωματιδίων μάς θυμίζει την κατάταξη των χημικών στοιχείων στον περιοδικό πίνακα.
Τα σωματίδια με το ίδιο χρώμα ανήκουν στην ίδια οικογένεια και έχουν την ίδια μάζα.
Οι νόμοι της φυσικής για την ίδια οικογένεια, για παράδειγμα για τα αδρόνια Σ (Σ– ,Σ0 , Σ+),
δείχνουν να ακολουθούν μια “περιστροφική” συμμετρία η οποία μεταβάλλει το φορτίο τους.
Οι κβαντικοί αριθμοί κάθε βαρυονίου προκύπτουν εύκολα από τις γεύσεις των κουάρκ που περιέχουν. Τα βαρυόνια με σπιν 3ħ/2 προκύπτουν από τα βαρυόνια που έχουν σπιν ħ/2 . Για παράδειγμα, τα τρία κουάρκ του νετρονίου n(udd,↑↑↓ ) επαναπροσανατολίζουν τα σπιν τους και προκύπτει το σωματίδιο Δ0 (udd,↑↑↑).
✏️ Κατασκεύασε ξανά τα γεωμετρικά σχήματα βάζοντας στην θέση των σωματιδίων το περιεχόμενό τους σε κουάρκ. Παρατήρησε τον τρόπο που λειτουργεί η συμμετρία, όταν αλλάζουν οι γεύσεις των κουάρκ, και μετατρέπεται ένα βαρυόνιο σε ένα άλλο.
Είναι :
p(uud), n(udd), Σ– (dds), Σ0 (uds), Σ+ (uus), Λ (uds), Ξ– (dss), Ξ0 (uss),
Δ– (ddd), Δ0(udd), Δ+(uud), Δ++ (uuu), Σ*– (dds), Σ*0 (uds), Σ*+ (uus), Ξ*– (dss), Ξ*0 (uss), Ω– (sss)
Κάθε συμμετρία στην φυσική κρύβει μέσα της έναν νόμο διατήρησης.
Οι συμμετρίες της φυσικής είναι δύο κατηγοριών : ολικές και τοπικές συμμετρίες.
Η διαφορά μεταξύ τους φαίνεται από τον τρόπο που συμπεριφέρεται η σφαίρα της φωτογραφίας, στην επιφάνεια της οποίας υπάρχει ένα σύστημα συντεταγμένων.
Κατά την “στροφή” ολικής συμμετρίας (μεσαία σφαίρα) γύρω από κάποιον άξονα, η μορφή της σφαίρας παραμένει αμετάβλητη και η θέση όλων των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας αλλάζουν κατά την ίδια γωνία στροφής.
Η διατήρηση του βαρυονικού αριθμού βασίζεται στην “στροφή” μιας ολικής συμμετρίας.
Η τοπική συμμετρία (δεξιά σφαίρα) προϋποθέτει να διατηρείται το σχήμα της σφαίρας, αλλά και να στρέφεται ανεξάρτητα κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας κατά διαφορετική γωνία. Είναι φανερό πως αναπτύσσονται δυνάμεις ανάμεσα στα σημεία της επιφάνειας. Αυτή η ιδιαίτερη συμμετρία ονομάζεται συμμετρία βαθμίδας (gauge symmetry) και είναι η πιο ενδιαφέρουσα μορφή συμμετρίας στην φυσική.
Κάθε μια από τις τέσσερις θεμελιώδεις δυνάμεις της φύσης θεωρούμε ότι προκύπτει από μια τέτοια τοπική συμμετρία που διατηρεί αναλλοίωτους τους νόμους της φυσικής (όπως κατ΄αναλογία στην φωτογραφία διατηρείται αναλλοίωτο το σχήμα στης σφαίρας).
Η μαθηματική ομάδα που περιγράφει μια συμμετρία βαθμίδας είναι υπεύθυνη για το πλήθος των μεσολαβητών της δύναμης (που είναι ίδιος με τον αριθμό των “γεννητόρων” της) και για την κατάταξη των σωματιδίων σε πολλαπλότητες.
Κάθε SU(Ν) (Special Unitary) ομάδα, έχει ( Ν2 – 1 ) γεννήτορες και Ν βασικές καταστάσεις. Αναμένεται, λοιπόν, τα σωματίδια να ομαδοποιούνται σε πολλαπλότητες των Ν σωματιδίων.
Η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση περιγράφεται από την μαθηματική ομάδα U(1). Ο μεσολαβητής της δύναμης είναι ένας, το φωτόνιο, και κάθε κουάρκ ή λεπτόνιο αποτελεί από μόνο του μια πολλαπλότητα.
Η ασθενής αλληλεπίδραση περιγράφεται από την ομάδα SU(2). Έχει τρεις μεσολαβητές δύναμης (W+ , W– , Z0 ) και τα σωματίδια (κουάρκ ή λεπτόνια) κατατάσσονται σε δυάδες. Η αλληλεπίδραση με τους φορείς W+ και W– , μετατρέπει το ένα μέλος της δυάδας στο άλλο.
Η ισχυρή αλληλεπίδραση περιγράφεται από την μαθηματική ομάδα SU(3). Έχει οκτώ μεσολαβητές δύναμης (8 gluon) και το κάθε κουάρκ εμφανίζεται σε τρεις τύπους (τριάδα) με διαφορετικό είδος “ισχυρού φορτίου”, που ονομάζεται χρώμα (color). Η αλληλεπίδραση αυτή αλλάζει το χρώμα, αλλά όχι την γεύση του κουάρκ.
Οι φυσικοί κατόρθωσαν να ενοποιήσουν τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ασθενή δύναμη συνδυάζοντας τις ομάδες τους. Στο καθιερωμένο μοντέλο ενσωματώθηκε και η ισχυρή δύναμη, παρέχοντας μία και μόνη θεωρία για όλα τα θεμελιώδη σωματίδια. Αυτό γίνεται με πολύ άμεσο τρόπο, συνδυάζοντας τις τρεις ομάδες βαθμίδας και σχηματίζοντας την συμμετρία βαθμίδας SU(3) x SU(2) x U(1).